HOMARD® : Outil de Maillage Adaptatif par Raffinement et Déraffinement |
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Le logiciel HOMARD® réalise l'adaptation de maillage 2D/3D par raffinement et déraffinement. Les principales caractéristiques de HOMARD® sont les suivantes :
Dans un calcul aux éléments finis classique,
le maillage est une donnée immuable. Néanmoins, il
est fréquent que ce maillage initial ne soit pas le mieux adapté aux conditions du calcul, pour au moins deux raisons :
. le mailleur n'a pas réussi à décrire finement une géométrie ; par exemple compte tenu
de la limitation sur la taille du maillage
. les conditions changent au cours du calcul ; par exemple les zones à mailler finement peuvent
se déplacer au cours d'un calcul transitoire.
Utiliser une technique de maillage adaptatif au cours d'un calcul aux éléments finis consiste à
modifier le maillage au fur et à mesure de telle sorte qu'il corresponde au mieux aux résultats escomptés.
Au départ du processus itératif, le maillage est celui fourni par un mailleur, comme dans tout calcul aux éléments finis.
Ensuite, l'itération numéro k de maillage adaptatif se décompose ainsi :
Quelques commentaires sur cet enchaînement :
. L'indicateur d'erreur I(t,uk,...) est une quantité locale,
c'est-à-dire définie par élément.
Sa définition est basée sur l'analyse numérique des équations
du problème à résoudre.
Il dépend de la valeur de la solution numérique uk dans l'élément t, voire sur ses voisins.
. L'estimateur d'erreur est global, c'est-à-dire qu'il donne une estimation de l'erreur intégrée sur tout le domaine.
C'est ce qui permet de dire : la solution obtenue numériquement est bonne à x%.
Pour calculer cette estimation, on utilise souvent la norme quadratique des indicateurs d'erreur locaux.
. Le mode de détermination des zones à raffiner ou à déraffiner est lié à la technique employée
pour l'adaptation du maillage. Si le futur maillage est construit par un mailleur adaptatif, la classification des zones
se fera en donnant une taille d'élément souhaitable en chaque point du domaine. Le mailleur essaiera
de respecter cette contrainte. Si le futur maillage est construit par découpage d'élément,
comme c'est le cas avec HOMARD®, la décision de découper un élément sera prise en comparant
l'indicateur sur cet élément avec un seuil.
Schématiquement une itération d'adaptation de maillage se présente comme sur la figure ci-après. Le logiciel aux éléments finis calcule la solution numérique sur le maillage Mk, puis en déduit les valeurs de l'indicateur d'erreur sur tout le maillage. A partir de la connaissance du maillage n°k et de l'indicateur n°k, HOMARD® crée le nouveau maillage n°k+1.
La chaîne complète part du maillage initial, puis comprend des maillons successifs (calcul d'indicateur / adaptation). Pour des problèmes stationnaires en temps, cela équivaut à une succession de calculs indépendants sur différents maillages. Pour des problèmes transitoires, le calcul est suspendu à un instant donné ; après adaptation du maillage, le calcul est repris au même instant.
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Globalement le processus de maillage adaptatif par découpage des éléments
se résume en deux phases. Dans la première phase, on découpe tous les éléments qui ont
été désignés par l'indicateur d'erreur. Cela produit un maillage qui n'est pas conforme :
des noeuds sont pendants à la jonction entre une zone à raffiner et une zone à garder.
La seconde phase vise à régler tous ces problèmes de conformité.
A ces deux phases correspondent des modes de découpages différents.
Dans la première phase, tous les éléments sont découpés de la même manière ;
c'est ce que nous appelons le découpage standard. Dans la seconde phase, une partie des
conflits de conformité de maillage dans les zones de jonction se règle
par les mêmes découpages standard d'éléments
et une autre partie se règle par des découpages
spéciaux.
Les modes de découpage décrits ci-dessous ont été choisis
pour ne pas détériorer la qualité du maillage au cours des
itérations d'adaptation.
Le découpage standard des éléments se fait en ayant pour objectif de limiter les cas de figure. Ainsi, les arêtes sont-elles scindées en deux moitiés égales.
Pour découper un triangle, on découpe ses trois arêtes en deux et on se trouve avec 4 triangles semblables. Ils conservent donc la même qualité. |
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Pour découper un quadrangle, on découpe ses quatre arêtes en deux et on se trouve avec 4 quadrangles non semblables au quadrangle père et donc de qualité différente. |
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Le découpage des tétraèdres se fait en huit. Pour commencer, chacune des faces triangulaires est découpée en 4 faces triangulaires semblables. |
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Ce découpage des faces produit 4 tétraèdres dans les angles du tétraèdre initial. On remarque que ces 4 nouveaux tétraèdres sont homothétiques de l'initial. Ils conservent donc la même qualité. |
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Il reste au coeur du tétraèdre, un bloc qui a la forme de deux pyramides accolées par leur base. On crée une arête avec l'une des 3 diagonales possibles, puis les 4 faces qui contiennent cette arête et deux arêtes extérieures. |
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Cela produit 4 nouveaux tétraèdres. On notera qu'ils sont semblables deux à deux, mais qu'ils ne peuvent jamais être semblables au tétraèdre initial. Ils ne pourront donc jamais avoir la même qualité que lui. Toutefois, selon le choix de la diagonale qui a servi à la découpe du bloc pyramidal interne, le résultat n'est pas le même. On montre que le meilleur choix, en terme de qualité, est celui de la plus petite des trois diagonales possibles. |
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Le découpage de mise en conformité s'appliquent aux triangles ou aux quadrangles qui ont une arête
découpée et aux tétraèdres qui ont 1, 2 ou 3 arêtes découpées.
Ces découpages produisent des éléments de qualité moindre par
rapport aux éléments et on voit dans l'algorithme général
comment cet inconvénient est pris en compte
pour en minimiser les conséquences.
Etant donné notre algorithme de maillage adaptatif, seules les quatre situations suivantes peuvent
être rencontrées :
Dans le cas d'un triangle, l'une de ses trois arêtes est coupée en deux. On joint alors son milieu au sommet opposé pour former deux nouveaux triangles. |
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Dans le cas d'un quadrangle, l'une de ses quatre arêtes est coupée en deux. On joint alors son milieu aux deux sommets opposés pour former trois triangles. Le maillage adapté obtenu est donc mixte. |
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Pour un tétraèdre dont trois des arêtes sont coupées : cela n'est possible que si ces arêtes sont sur la même face. Cette face est donc coupée en quatre. On joint les milieux des arêtes découpées au sommet opposé. Cela coupe en deux les trois autres faces et il y a création de 4 tétraèdres. |
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Pour un tétraèdre dont deux des arêtes sont coupées : cela n'est possible que si ces arêtes sont opposées. On fait toutes les jonctions entre les milieux de ces arêtes et les autres sommets, ainsi que entre les deux milieux d'arêtes. Les quatre faces sont coupées en deux et il y a création de 4 tétraèdres. |
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Pour un tétraèdre dont une des arêtes est coupée : on joint le milieu de cette arête découpée au sommet opposé et il y a création de 2 tétraèdres. |
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La stratégie retenue dans les algorithmes d'HOMARD® consiste à forcer le découpage en quatre pour tous les facettes triangulaires présentant deux points de non conformité. A la fin, les seuls triangles présentant des points de non conformité sont des triangles où une arête et une seule est découpée. La mise en conformité est alors assurée par la solution la plus simple possible : découpage en deux des triangles, en deux ou en quatre des tétraèdres. Cette dernière étape de mise en conformité introduit des éléments dont la qualité est moindre que celle des éléments dont ils sont issus. Cet inconvénient est contrôlé car nous avons choisi de donner un statut temporaire à ces éléments de mise en conformité : ils sont présents pour produire un maillage acceptable par les logiciels de calcul, mais disparaissent s'il y a besoin de les découper ultérieurement. Ainsi, la perte de qualité ne se propage pas au fil des itérations d'adaptation de maillage et reste limitée autant en valeur qu'en nombre d'éléments concernés. Le mode de découpage retenu fait qu'après un découpage standard un tétraèdre aura 0, 1 ou 4 faces découpées, mais jamais 2 ni 3. Ceci est équivalent à dire qu'un triangle aura 0, 1 ou 3 arêtes découpées, mais jamais 2, et ceci que le triangle soit un élément par lui-même ou qu'il soit une face d'un tétraèdre. Nous pouvons donc transférer aux tétraèdres les règles de mise en conformité sur les triangles et proposer l'algorithme général suivant :
En plus du nouveau maillage, il faut réactualiser toutes les informations connexes, en particulier celles sur les conditions aux limites. La solution retenue consiste à convertir les informations sur les noeuds et les éléments en appartenance à des familles de comportement identique dans le calcul. Au fil des découpages, la famille d'appartenance est transmise par héritage. Lors de la création du nouveau maillage, le logiciel HOMARD® traduit l'appartenance à une famille en un codage propre au logiciel de calcul. Ce schéma fonctionne parfaitement, sous réserve que le logiciel de calcul gère une description suffisamment riche des limites des domaines.
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HOMARD® a été initialement imaginé pour les logiciels de calcul d'Electricité de France :
Pour obtenir une licence d'utilisation, cliquez ici.
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