HOMARD® : Outil de Maillage Adaptatif par Raffinement et Déraffinement

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Balle rouge Introduction

Le logiciel HOMARD® réalise l'adaptation de maillage 2D/3D par raffinement et déraffinement. Les principales caractéristiques de HOMARD® sont les suivantes :


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Balle rouge L'enchaînement général d'un calcul avec adaptation

Dans un calcul aux éléments finis classique, le maillage est une donnée immuable. Néanmoins, il est fréquent que ce maillage initial ne soit pas le mieux adapté aux conditions du calcul, pour au moins deux raisons :
. le mailleur n'a pas réussi à décrire finement une géométrie ; par exemple compte tenu de la limitation sur la taille du maillage
. les conditions changent au cours du calcul ; par exemple les zones à mailler finement peuvent se déplacer au cours d'un calcul transitoire.
Utiliser une technique de maillage adaptatif au cours d'un calcul aux éléments finis consiste à modifier le maillage au fur et à mesure de telle sorte qu'il corresponde au mieux aux résultats escomptés.

Au départ du processus itératif, le maillage est celui fourni par un mailleur, comme dans tout calcul aux éléments finis. Ensuite, l'itération numéro k de maillage adaptatif se décompose ainsi :

  1. Résolution du problème sur le maillage Mk par le procédé habituel. Cela fournit une solution, notée uk.
  2. Calcul d'un indicateur d'erreur local I(t,uk,...), pour tout élément t du maillage courant Mk.
  3. Détermination d'un estimateur d'erreur global, a posteriori, en général par intégration des indicateurs locaux.
  4. Si cette estimation de l'erreur est supérieure à la précision souhaitée, on enchaîne sur l'étape 5. Sinon, deux possibilités : pour un phénomène stationnaire, le calcul est terminé mais pour un phénomène transitoire, le calcul se poursuit sur le même maillage Mk ; on repart alors à l'étape 1.
  5. Détermination des zones à raffiner ou à déraffiner grâce à l'indicateur local I(t,uk,...).
  6. Modification du maillage.
  7. Passage à l'itération suivante : étape 1 avec k = k + 1

Quelques commentaires sur cet enchaînement :
. L'indicateur d'erreur I(t,uk,...) est une quantité locale, c'est-à-dire définie par élément. Sa définition est basée sur l'analyse numérique des équations du problème à résoudre. Il dépend de la valeur de la solution numérique uk dans l'élément t, voire sur ses voisins.
. L'estimateur d'erreur est global, c'est-à-dire qu'il donne une estimation de l'erreur intégrée sur tout le domaine. C'est ce qui permet de dire : la solution obtenue numériquement est bonne à x%. Pour calculer cette estimation, on utilise souvent la norme quadratique des indicateurs d'erreur locaux.
. Le mode de détermination des zones à raffiner ou à déraffiner est lié à la technique employée pour l'adaptation du maillage. Si le futur maillage est construit par un mailleur adaptatif, la classification des zones se fera en donnant une taille d'élément souhaitable en chaque point du domaine. Le mailleur essaiera de respecter cette contrainte. Si le futur maillage est construit par découpage d'élément, comme c'est le cas avec HOMARD®, la décision de découper un élément sera prise en comparant l'indicateur sur cet élément avec un seuil.

Schématiquement une itération d'adaptation de maillage se présente comme sur la figure ci-après. Le logiciel aux éléments finis calcule la solution numérique sur le maillage Mk, puis en déduit les valeurs de l'indicateur d'erreur sur tout le maillage. A partir de la connaissance du maillage n°k et de l'indicateur n°k, HOMARD® crée le nouveau maillage n°k+1.

Schéma d'une adaptation de maillage

La chaîne complète part du maillage initial, puis comprend des maillons successifs (calcul d'indicateur / adaptation). Pour des problèmes stationnaires en temps, cela équivaut à une succession de calculs indépendants sur différents maillages. Pour des problèmes transitoires, le calcul est suspendu à un instant donné ; après adaptation du maillage, le calcul est repris au même instant.

Chaine complète

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Balle rouge Les modes de découpage des éléments

Globalement le processus de maillage adaptatif par découpage des éléments se résume en deux phases. Dans la première phase, on découpe tous les éléments qui ont été désignés par l'indicateur d'erreur. Cela produit un maillage qui n'est pas conforme : des noeuds sont pendants à la jonction entre une zone à raffiner et une zone à garder. La seconde phase vise à régler tous ces problèmes de conformité.
A ces deux phases correspondent des modes de découpages différents. Dans la première phase, tous les éléments sont découpés de la même manière ; c'est ce que nous appelons le découpage standard. Dans la seconde phase, une partie des conflits de conformité de maillage dans les zones de jonction se règle par les mêmes découpages standard d'éléments et une autre partie se règle par des découpages spéciaux.
Les modes de découpage décrits ci-dessous ont été choisis pour ne pas détériorer la qualité du maillage au cours des itérations d'adaptation.

- Le découpage standard

Le découpage standard des éléments se fait en ayant pour objectif de limiter les cas de figure. Ainsi, les arêtes sont-elles scindées en deux moitiés égales.

Pour découper un triangle, on découpe ses trois arêtes en deux et on se trouve avec 4 triangles semblables. Ils conservent donc la même qualité. Decoupage 1

Pour découper un quadrangle, on découpe ses quatre arêtes en deux et on se trouve avec 4 quadrangles non semblables au quadrangle père et donc de qualité différente. Decoupage qua 1

Le découpage des tétraèdres se fait en huit. Pour commencer, chacune des faces triangulaires est découpée en 4 faces triangulaires semblables. Decoupage 2

Ce découpage des faces produit 4 tétraèdres dans les angles du tétraèdre initial. On remarque que ces 4 nouveaux tétraèdres sont homothétiques de l'initial. Ils conservent donc la même qualité. Decoupage 3

Il reste au coeur du tétraèdre, un bloc qui a la forme de deux pyramides accolées par leur base. On crée une arête avec l'une des 3 diagonales possibles, puis les 4 faces qui contiennent cette arête et deux arêtes extérieures. Decoupage 4

Cela produit 4 nouveaux tétraèdres. On notera qu'ils sont semblables deux à deux, mais qu'ils ne peuvent jamais être semblables au tétraèdre initial. Ils ne pourront donc jamais avoir la même qualité que lui. Toutefois, selon le choix de la diagonale qui a servi à la découpe du bloc pyramidal interne, le résultat n'est pas le même. On montre que le meilleur choix, en terme de qualité, est celui de la plus petite des trois diagonales possibles. Decoupage 5

- Les découpages de mise en conformité

Le découpage de mise en conformité s'appliquent aux triangles ou aux quadrangles qui ont une arête découpée et aux tétraèdres qui ont 1, 2 ou 3 arêtes découpées. Ces découpages produisent des éléments de qualité moindre par rapport aux éléments et on voit dans l'algorithme général comment cet inconvénient est pris en compte pour en minimiser les conséquences.
Etant donné notre algorithme de maillage adaptatif, seules les quatre situations suivantes peuvent être rencontrées :

Dans le cas d'un triangle, l'une de ses trois arêtes est coupée en deux. On joint alors son milieu au sommet opposé pour former deux nouveaux triangles. Decoupage 6

Dans le cas d'un quadrangle, l'une de ses quatre arêtes est coupée en deux. On joint alors son milieu aux deux sommets opposés pour former trois triangles. Le maillage adapté obtenu est donc mixte. Decoupage qua 2

Pour un tétraèdre dont trois des arêtes sont coupées : cela n'est possible que si ces arêtes sont sur la même face. Cette face est donc coupée en quatre. On joint les milieux des arêtes découpées au sommet opposé. Cela coupe en deux les trois autres faces et il y a création de 4 tétraèdres. Decoupage 7

Pour un tétraèdre dont deux des arêtes sont coupées : cela n'est possible que si ces arêtes sont opposées. On fait toutes les jonctions entre les milieux de ces arêtes et les autres sommets, ainsi que entre les deux milieux d'arêtes. Les quatre faces sont coupées en deux et il y a création de 4 tétraèdres. Decoupage 8

Pour un tétraèdre dont une des arêtes est coupée : on joint le milieu de cette arête découpée au sommet opposé et il y a création de 2 tétraèdres. Decoupage 9


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Balle rouge L'algorithme de maillage adaptatif mis en oeuvre

La stratégie retenue dans les algorithmes d'HOMARD® consiste à forcer le découpage en quatre pour tous les facettes triangulaires présentant deux points de non conformité. A la fin, les seuls triangles présentant des points de non conformité sont des triangles où une arête et une seule est découpée. La mise en conformité est alors assurée par la solution la plus simple possible : découpage en deux des triangles, en deux ou en quatre des tétraèdres. Cette dernière étape de mise en conformité introduit des éléments dont la qualité est moindre que celle des éléments dont ils sont issus. Cet inconvénient est contrôlé car nous avons choisi de donner un statut temporaire à ces éléments de mise en conformité : ils sont présents pour produire un maillage acceptable par les logiciels de calcul, mais disparaissent s'il y a besoin de les découper ultérieurement. Ainsi, la perte de qualité ne se propage pas au fil des itérations d'adaptation de maillage et reste limitée autant en valeur qu'en nombre d'éléments concernés. Le mode de découpage retenu fait qu'après un découpage standard un tétraèdre aura 0, 1 ou 4 faces découpées, mais jamais 2 ni 3. Ceci est équivalent à dire qu'un triangle aura 0, 1 ou 3 arêtes découpées, mais jamais 2, et ceci que le triangle soit un élément par lui-même ou qu'il soit une face d'un tétraèdre. Nous pouvons donc transférer aux tétraèdres les règles de mise en conformité sur les triangles et proposer l'algorithme général suivant :

  1. Transfert des indications de raffinement ou de déraffinement des éléments en décisions de découpage ou de regroupement d'arêtes, de triangles et de quadrangles.
  2. Suppression des éléments temporaires de mise en conformité.
  3. Par examen de tous les triangles et quadrangles du niveau de découpage le plus bas vers le niveau le plus haut, règlement des conflits sur le déraffinement au moyen des règles de base.
  4. Par examen de tous les triangles et quadrangles du niveau de découpage le plus haut vers le niveau le plus bas, règlement des conflits sur le raffinement au moyen des règles de base.
  5. Création effective du nouveau maillage : découpage standard, suivi de mise en conformité.

En plus du nouveau maillage, il faut réactualiser toutes les informations connexes, en particulier celles sur les conditions aux limites. La solution retenue consiste à convertir les informations sur les noeuds et les éléments en appartenance à des familles de comportement identique dans le calcul. Au fil des découpages, la famille d'appartenance est transmise par héritage. Lors de la création du nouveau maillage, le logiciel HOMARD® traduit l'appartenance à une famille en un codage propre au logiciel de calcul. Ce schéma fonctionne parfaitement, sous réserve que le logiciel de calcul gère une description suffisamment riche des limites des domaines.

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Balle rouge Les logiciels de calcul concernés par HOMARD®

HOMARD® a été initialement imaginé pour les logiciels de calcul d'Electricité de France :

HOMARD® est aujourd'hui interfacé avec Code_Aster®, Code_Saturne pour la mécanique des fluides et Athena pour l'élastodynamique. On peut également l'interfacer avec tout autre logiciel exploitant des maillages en triangles, quadrangles ou tétraèdres, en réalisant soi-même les fichiers d'interface. C'est ce qu'ont fait les acheteurs de licence d'utilisation. Tous ces modes d'utilisation sont documentés.

Pour obtenir une licence d'utilisation, cliquez ici.

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