AlgebraicExtensionField

(代数拡大体)

代数拡大体を表現するクラス

ファイル名:

algebraic-Extension-feild.rb

スーパークラス:

ResidueClassRing

インクルードしているモジュール:

なし。

クラスメソッド:

::create(k, obj){|x| p(x) }

体 k を、obj で表される変数 x の多項式 p(x) で拡大した環 k[x]/(p(x))を返します。この環には、クラスメソッド ::var、::def_polys、 ::env_ring が定義されます。

例: 有理数を方程式 x**2 + x + 1 == 0 で拡大した体 F を作る。

require "rational"
require "algebraic-extension-field"
F = Algebra::AlgebraicExtensionField.create(Rational, "x") {|x| x**2 + x + 1}
x = F.var
p( (x-1)** 3 / (x**2 - 1) ) #=> -3x - 3

::to_ary

[self, var] を返します。

例: 代数拡大体と添加元を同時に定義する

require "rational"
require "algebraic-extension-field"
F, a = Algebra.AlgebraicExtensionField(Rational, "a") {|a| a**2 + a + 1}

::var

::create の返り値 k[x]/(p(x)) に定義され、この剰余環における x で代表される剰余類を返します。

::modulus

::create の返り値 k[x]/(p(x)) に定義され、k[x] の要素 p(x) を返します。

::def_polys

::create の返り値 k[x]/(p(x)) に定義され、長さ n の各 ::modulus の配列を返します。ここで、自身は、基礎体 k0 上高さ n の再帰的な AlgebraicExtensionField であるとします。

例: 基礎体を有理数とし、2, 3, 5 の立方根による拡大体を作る

require "algebra"
# K0 == Rational
K1 = AlgebraicExtensionField(Rational, "x1") { |x|
  x ** 3 - 2
}
K2 = AlgebraicExtensionField(K1, "x2") { |y|
  y ** 3 - 3
}
K3 = AlgebraicExtensionField(K2, "x3") { |z|
  z ** 3 - 5
}

p K3.def_polys #=> [x1^3 - 2, x2^3 - 3, x3^3 - 5]

x1, x2, x3 = K1.var, K2.var, K3.var
f = x1**2 + 2*x2**2 + 3*x3**2
f0 = f.abs_lift

p f0.type     #=> (Polynomial/(Polynomial/(Polynomial/Rational)))
p f0.type == K3.env_ring #=> true

p f #=> 3x3^2 + 2x2^2 + x1^2
p f0.evaluate(x3.abs_lift, x2.abs_lift, x1.abs_lift)
    #=> x3^2 + 2x2^2 + 3x3^2

::env_ring

::create の返り値 k[x]/(p(x)) に定義され、多変数多項式環 k0[x1, x2,.., xn] を返します。ここで、自身は、基礎体 k0 上高さ n の再帰的な AlgebraicExtensionField であるとします。

::ground

剰余環のもとになる多項式環 k[x] を返します。

メソッド

abs_lift

::env_ring すなわち基礎体 k0 上の多変数多項式環 k0[x1, x2,.., xn] へのリフトを返します。

[n]

n 次の係数を返します。lift[n] と同じです。

例: Fibonacci 数列