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Algebra::OperatorDomain

群が作用する集合の性質を集めたモジュールです。 Group クラスがインクルードしています。

ファイル名:

finite-group.rb

メソッド:

right_act(other): self と other の積を返します。すなわち self の元 x と other の元 y に対して x * y の形の元の集合（Set）を返します。
act: right_act のエイリアスです。
left_act(other): self と other の積を返します。すなわち self の元 x と other の元 y に対して y * x の形の元の集合（Set）を返します。
right_quotient(other): self を other で割った右剰余類の集合（Set）を返します。
quotient
right_coset
coset: right_quotient のエイリアスです。
left_quotient(other): self を other で割った左剰余類の集合（Set）を返します。
left_coset: left_quotient のエイリアスです。
right_representatives(other): 右剰余類 right_quotient から取った代表元の集合を返します。
representatives: right_representatives のエイリアスです。
left_representatives(other): 左剰余類 left_quotient から取った代表元の集合を返します。
right_orbit!(other): self を other を繰り返し右から作用させて広げます。作用は * によります。
orbit!: right_orbit! のエイリアスです。
left_orbit!(other): self を other を繰り返し左から作用させて広げます。作用は * によります。

Algebra::Set

ファイル名:

finite-group.rb ここでは finite-set.rb で定義された Set に付け加えるべきメソッドを定義しています。

インクルードしているモジュール:

OperatorDomain

メソッド:

*

act のエイリアスです。

/

quotient のエイリアスです。

%

representatives のエイリアスです。

increasing_series([x])

x から始まる増大列の配列を返します。これは次のコードと同値です。

def increasing_series(x = unit_group)
  a = []
  loop do
    a.push x
    if x >= (y = yield x)
      break
    end
    x = y
  end
  a
end

decreasing_series([x])

x から始まる減少の配列を返します。これは次のコードと同値です。

def decreasing_series(x = self)
  a = []
  loop do
    a.push x
    if x <= (y = yield x)
      break
    end
    x = y
  end
  a
end

Algebra::Group

ファイル名:

finite-group.rb

スーパークラス:

Set

クラスメソッド:

::new(u, [g0, g1, ...]]): u を単位元とし、g0, g1, ... で構成される群を返します。
::generate_strong(u, [g0, [g1, ...]]): 単位元を u、強生成元を g0, g1, ... として、生成される群を返します。

メソッド:

quotient_group(u): 正規部分群 u による剰余群を返します。
separate: ブロックを真とする元からなる部分群を返します。
to_a: 各要素を配列にして返します。最初の要素は単位元です。
unity: 単位元を返します。
unit_group: 単位元で生成される単位群を返します。
semi_complete!: 現在の要素を掛け合わせて半群を構成します。
semi_complete: 現在の要素を掛け合わせて半群を構成たものを返します。
complete!: 現在の要素を掛け合わせて群を構成します。
complete: 現在の要素を掛け合わせて群を構成たものを返します。
closed?: 群として閉じているとき真を返します。
subgroups: 全ての部分群の集合を返します。
centralizer(s): self における s の中心化群を返します。
center: self の中心化群を返します。
center?(x): self の中で元 x が中心に含まれているとき、真を返します。
normalizer(s): self における s の正規化群を返します。
normal?(s): s が self の正規部分群であるとき真を返します。
normal_subgroups: 全ての正規部分群の集合を返します。
conjugacy_class(x): 元 x の共役類を返します
conjugacy_classes: self の全ての共役類の集合を返します。
simple?: 単純群であるとき、真を返します。
commutator([h]): self と h との交換子群を返します。h を省略すると self が用いられます。
D([n]): n 番目の交換子群を返します。D(0) = 自分自身, D(n+1) = [D[n], D[n]] で定義されています。 n を省略すると 1 が用いられます。
commutator_series: [D(0), D(1), D(2),..., D(n)] という配列を返します。この配列は D(n) == D(n+1) となる n で停止します。
solvable?: 可解群であるとき真を返します。
K([n]): K(0) = 自分自身, K(n+1) = [self, K[n]] で定義される群を返します。 n を省略すると 1 が用いられます。
descending_central_series: 降中心列 [K(0), K(1), K(2),..., K(n)] という配列を返します。この配列は K(n) == K(n+1) となる n で停止します。
Z([n]): Z(0) = 単位群, Z(n+1) = separate{|x| commutator(Set[x]) <= Z(n-1)} で定義される群を返します。 n を省略すると 1 が用いられます。
ascending_central_series: 昇中心列 [Z(0), Z(1), Z(2),..., Z(n)] という配列を返します。この配列は Z(n) == Z(n+1) となる n で停止します。
nilpotent?: 冪零群であるとき真を返します。
nilpotency_class: 冪零クラスを返します。冪例群でないとき nil を返します。

Algebra::QuotientGroup

ファイル名:

finite-group.rb

スーパークラス:

Group

クラスメソッド:

new(u, [g0, [g1,...]]): self の正規部分群を u として、 u, g0, g1, .. を剰余類とする剰余群を返します。

メソッド:

inverse: 逆元を返します
inv: inverse のエイリアスです。