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Algebra::MPolynomial

(多変数多項式環クラス)

多変数の多項式環を表現します。実際のクラスを生成するには環を指定して、クラスメソッド::createあるいは関数Algebra.MPolynomial()を用います。

ファイル名:

m-polynomial.rb

スーパークラス:

Object

インクルードしているモジュール:

Enumerable
Comparable
Algebra::Groebner

クラスメソッド:

::create(ring [, obj0 [, obj1 [, ...]]])

ringで表現されるクラスを係数環とする多変数多項式環クラスを生成します。

オブジェクトobj0, obj1, ...で変数を登録し、戻り値である多変数多項式環クラスは Algebra::MPolynomial クラスのサブクラスです。

オブジェクトobj0, obj1, ...は変数の区別と名（to_sの値）に利用されるだけです。

このサブクラスにはクラスメソッドとしてgroundと varsが定義され、それぞれ、係数環ring、変数の配列を返します。

登録されたオブジェクト obj0, obj1, ... で表現されるされる変数はvar(obj0), var(obj1),... で得ることができます。すなわちvars == [var(obj0), var(obj1), ...] です。

各変数の大小関係はobj0 > obj1 > ...となります。各単項式の順序は::set_ordで指定します。

例: 整数を係数とする多項式環の生成

require "m-polynomial"
P = Algebra::MPolynomial.create(Integer, "x", "y", "z")
x, y, z = P.vars
p((-x + y + z)*(x + y - z)*(x - y + z))
#=> -x^3 + x^2y + x^2z + xy^2 - 2xyz + xz^2 - y^3 + y^2z + yz^2 - z^3
p P.ground #=> integer

::vars([obj0 [, obj1 [, ...]]])

引数が1つもないとき、既に登録されている全ての変数を配列として返します。

例:

P = Algebra.MPolynomial(Integer, "x", "y", "z")
p P.vars #=> [x, y, z]

引数がただ1つで文字列であるとき、文字列を「英字1字+数字の列」に分解し、それで表現される変数を登録します。オブジェクトが既に登録されていれば新たな登録はしません。戻り値はそれぞれのオブジェクトに対応する変数の配列です。

例:

P = Algebra.MPolynomial(Integer)
x, y, z, w = P.vars("a0b10cd")
p P.vars #=> [a0, b10, c, d]
p [x, y, z, w] #=> [a0, b10, c, d]

それ以外のとき、引数であるオブジェクト obj0, obj1, ... で表現される変数を登録します。オブジェクトが既に登録されていれば新たな登録はしません。戻り値はobj0, obj1, ...に対応する変数の配列です。

例:

P = Algebra.MPolynomial(Integer)
p P.vars("x", "y", "z") #=> [x, y, z]

::mvar([obj0 [, obj1 [, ...]]])

引数が1つもないとき、既に登録されている全ての変数を配列として返します。

それ以外のとき、引数であるオブジェクト obj0, obj1, ... で表現される変数を登録します。オブジェクトが既に登録されていれば新たな登録はしません。戻り値は obj0, obj1, ... に対応する変数の配列です。

::to_ary

[self, *vars] を返します。

例: 多項式環と変数を同時に定義する。

P, x, y, z, w = Algebra.MPolynomial(Integer, "a", "b", "c", "d")

::var(obj)

obj で登録されたオブジェクトによって表現される変数を返します。

例:

P = Algebra.MPolynomial(Integer, "X", "Y", "Z")
x, y, z = P.vars
P.var("Y") == y #=> true

::variables

既に登録されている変数を表現するオブジェクトの配列を返します。

::indeterminate(obj)

::var と同じです。

::zero?

零元であるとき真を返します。

::zero

零元を返します。

::unity

単位元を返します。

::set_ord(ord [, v_ord])

ord に単項式順序をシンボルで指定します。順序として可能な指定は :lex (辞書式順序(デフォルト))、:grlex (次数付き辞書式順序)、:grevlex (次数付き逆辞書式順序)の3つです。

各変数間の順序は登録された順（先に登録されるほど大きい）になります。v_ord に配列を与えてこの順番を変更する事ができます。

例: x, y, z = P.var("xyz") としたときの順位

require "m-polynomial"
P = Algebra.MPolynomial(Integer)
x, y, z = P.vars("xyz")
f = -5*x**3 + 7*x**2*z**2 + 4*x*y**2*z + 4*z**2

P.set_ord(:lex)
p f #=> -5x^3 + 7x^2z^2 + 4xy^2z + 4z^2

f.method_cash_clear
P.set_ord(:grlex)
p f #=> 7x^2z^2 + 4xy^2z - 5x^3 + 4z^2

f.method_cash_clear
P.set_ord(:grevlex)
p f #=> 4xy^2z + 7x^2z^2 - 5x^3 + 4z^2

f.method_cash_clear
P.set_ord(:lex, [2, 1, 0]) # z > y > x
p f #=> 7x^2z^2 + 4z^2 + 4xy^2z - 5x^3

::order=(x)

::set_ord(x) と同じです。

::get_ord

単項式順序(:lex, :grlex, :grevlex)を返します。

::ord

::get_ord と同じです。

::with_ord(ord [, v_ord[ [, array_of_polys]])

ord を単項式順序、v_ord を変数の順序の変換配列として、ブロックを実行します。ブロックを抜けると以前の順序に戻ります。多項式の配列 array_of_polys が与えられれば、それらに対して method_cash_clear が実行されてから、ブロックが実行されます。 (このブロックはスレッドセーフではありません。)

例:

require "m-polynomial"
P = Algebra.MPolynomial(Integer)
x, y, z = P.vars("xyz")
f = -5*x**3 + 7*x**2*z**2 + 4*x*y**2*z + 4*z**2

P.with_ord(:lex, nil, [f]) do
  p f    #=> -5x^3 + 7x^2z^2 + 4xy^2z + 4z^2
  p f.lt #=> -5x^3
end

P.with_ord(:grlex, nil, [f]) do
  p f    #=> 7x^2z^2 + 4xy^2z - 5x^3 + 4z^2
  p f.lt #=> 7x^2z^2
end

P.with_ord(:grevlex, nil, [f]) do
  p f    #=> 4xy^2z + 7x^2z^2 - 5x^3 + 4z^2
  p f.lt #=> 4xy^2z
end

P.with_ord(:lex, [2, 1, 0], [f]) do # z > y > x
  p f    #=> 7x^2z^2 + 4z^2 + 4xy^2z - 5x^3
  p f.lt #=> 7x^2z^2
end

::set_ord も参照してください。

::monomial(ind[, c])

multi-degree ind で、係数が c の単項式を返します。（ただし、Algebra::MPolynomial::Monomial は extend されていない。） c が省略されれば、単位元とみなされます。

メソッド:

monomial(ind[, c])

::monomial と同じ。

定数(0次式)であるとき、真を返します。

単項式であるとき、真を返します。

零であるとき、真を返します。

零元を返します。

単位元を返します。

method_cash_clear

このライブラリは、同じ計算を繰り返ししないように結果を保存していますが、それをクリアします。この操作は単項式順序の変更などを行った後に必要になります。

結果が保存されているメソッドは、 lc, lm, lt, rt, multideg です。

例:

P = Algebra.MPolynomial(Integer)
x, y, z = P.vars("xyz")
f = -5*x**3 + 7*x**2*z**2 + 4*x*y**2*z + 4*z**2
P.set_ord(:lex)
p f.lt #=> -5x^3
P.set_ord(:grlex)
p f.lt #=> -5x^3
f.method_cash_clear
p f.lt #=> 7x^2z^2

等しいとき真を返します。

大小関係を求めます。

和を計算します。

差を計算します。

積を計算します。

n 乗を計算します。

other が、定数(0次式)であるとき、商を計算します。

divmod(f0 [, f1 [,...]])

多項式 f0, f1,... による割り算をし、商の配列と剰余を計算します。

P = Algebra.MPolynomial(Integer)
x, y = P.vars("xy")
f = x**2*y + x*y**2 + y**2
f0 = x*y - 1
f1 = y**2 - 1
p f.divmod(f0, f1) #=> [[x + y, 1], x + y + 1]
p f % [f0, f1]     #=> x + y + 1

%(others)

others を多項式の配列としたとき、それによる割り算の剰余を返します。これは divmod(*others)[1] と同じです。

multideg

（多重）次数を返します。

例: (lex オーダーで)

P = Algebra.MPolynomial(Integer)
x, y, z = P.vars("xyz")
f = 4*x*y**2*z + 4*z**2 - 5*x**3*y + 7*x**2*z**2
p f.multideg #=> [3, 1]

totdeg

次数（多重次数の和）を返します。

例: (lex オーダーで)

f = 4*x*y**2*z + 4*z**2 - 5*x**3*y + 7*x**2*z**2
p f.totdeg   #=> 4

deg

multideg と同じです。

lc

先頭係数(leading coeffcient)を返します。

例: (lex オーダーで)

f = 4*x*y**2*z + 4*z**2 - 5*x**3*y + 7*x**2*z**2
p f.lc       #=> -5

lm

先頭単項式(leading monomial)を返します。この戻り値はAlgebra::MPolynomial::Monomialというモジュールが extend されます。

例: (lex オーダーで)

f = 4*x*y**2*z + 4*z**2 - 5*x**3*y + 7*x**2*z**2
p f.lm       #=> x^3y

lt

先頭項(leading term)を返します。lc * lmと等しい値を持ちます。

例: (lex オーダーで)

f = 4*x*y**2*z + 4*z**2 - 5*x**3*y + 7*x**2*z**2
p f.lt       #=> -5x^3y

rt

残余項(rest term)を返します。self - ltと等しい値を持ちます。

例: (lex オーダーで)

f = 4*x*y**2*z + 4*z**2 - 5*x**3*y + 7*x**2*z**2
p f.rt       #=> 4*z**2 - 5*x**3*y + 7*x**2*z**2

to_s

文字列表現を得ます。表示形式を変えるにはdisplay_typeを用います。 display_typeに与えられる値は :norm(デフォルト), :code です。

例:

P = Algebra.MPolynomial(Integer)
x, y, z = P.vars("xyz")
f = -5*x**3 + 7*x**2*z**2 + 4*x*y**2*z + 4*z**2
p f #=> -5x^3 + 7x^2z^2 + 4xy^2z + 4z^2
P.display_type = :code
p f #=> -5*x**3 + 7*x**2*z**2 + 4*x*y**2*z + 4*z**2

map_to(ring[, vs]){|c, ind| ... }

多項式に含まれる各単項式について、 multi-degree を ind、係数を c に代入し、 ... を評価して、ring 上で和を取った値を返します。vs が省略されると ::vars の値が用いられます。 fがP上の多項式なら、 f.map_to(P) {|c, ind| c * P.monomial(ind)} は fと一致します。

project(ring[, vs]){|c, ind| ... }

多項式に含まれる各単項式について、 multi-degree を ind、係数を c に代入し、 ... を評価してind次の単項式に掛けて、 ring 上で和を取った値を返します。vs が省略されると ::vars の値が用いられます。

fがP上の多項式なら、 f.map_to(P) {|c, ind| c} は fと一致します。

project(ring){|c, ind| f(c, ind)} は map_to(ring){|c, ind| f(c, ind) * self.class.monomial(ind)}に一致します。

例:

require "m-polynomial"
require "rational"
P = Algebra::MPolynomial(Integer, "x", "y", "z")
x, y, z = P.vars
f = x**2 + 2*x*y - z**3
PQ = Algebra::MPolynomial(Rational, "x", "y", "z")
p f.project(PQ) {|c, ind| Rational(c) / (ind[0] + 1)}
                  #=> 1/3x^2 + xy - z^3
p f.convert_to(PQ)      #=> x^2 + 2xy - z^3

evaluate(obj0[, [obj1, [obj2,..]]])

各変数に obj0, obj1, obj2,... を代入した値を返します。 project(ground, [obj0, obj1, obj2,..]){|c, ind| c} の値と一致します。

例:

require "m-polynomial"
P = Algebra::MPolynomial(Integer, "x", "y", "z")
x, y, z = P.vars
f = x**2 + 2*x*y - z**3
p f.evaluate(1, -1, -1) #=> 0 (in Integer)
p f.evaluate(y, z, x)   #=> -x^3 + y^2 + 2yz (in P)

call(obj0[, [obj1, [obj2,..]]])

evaluateと同じです。

sub(var, value)

変数 var に value を代入した値を返します。

例:

require "m-polynomial"
P = Algebra::MPolynomial(Integer)
x, y, z = P.vars("x", "y", "z")
f = (x - y)*(y - z - 1)
p f.sub(y, z+1)    #=> 0

convert_to(ring)

各項をring上で評価します。project(ring){|c, ind| c}の値と一致します。

derivate(var)

varでの偏微分を返します。

Algebra::MPolynomial::Monomial

(単項式の性質を集めたモジュール)

lt, lm の戻り値である多項式にはこのモジュールがextendされます。

メソッド:

divide?(other): 単項式 other で割り切れるとき真を返します。
/(other): 単項式 other で割り切ります。
prime_to?(other): 単項式 other と素なとき真を返します。
lcm(other): 単項式 other との最小公倍数である単項式を返します。
divide_or?(other0, other1): divide?(other0.lcm(other1)) と同じ値を返します。

Algebra::MPolynomialFactorization

(因数分解モジュール)

因数分解をするためのモジュールです。

ファイル名:

m-polynomial-factor.rb

メソッド:

factorize

因数分解します。

因数分解可能な係数環は

Integer
Rational
素体

です。

Algebra::Groebner

(グレブナ基底計算モジュール)

ファイル名:

groebner-basis.rb
groebner-basis-coeff.rb

クラスメソッド:

Groebner.basis(f)

基底の配列 f から簡約グレブナ基底を作り、配列として返します。 Groebner.basis(Groebner.minimal_basis(Groebner.basis_159A(f))) と同等です。

例:

require "m-polynomial"
require "rational"
P = Algebra.MPolynomial(Rational)
P.set_ord :grevlex
x, y, z = P.vars("xyz")
f1 = x**2 + y**2 + z**2 -1
f2 = x**2 + z**2 - y
f3 = x - z
b = Groebner.basis([f1, f2, f3])
p b #=> [y^2 + y - 1, z^2 - 1/2y, x - z]

Groebner.basis_159A(f)

基底の配列 f からグレブナ基底を作り配列として返します。

Groebner.minimal_basis(f)

グレブナ基底の配列 f から極小グレブナ基底の配列を作り返します。

Groebner.reduced_basis(f)

極小グレブナ基底の配列 f から簡約グレブナ基底の配列を作り返します。

Groebner.basis_coeff(f)

基底の配列 f から簡約グレブナ基底の配列と、各基底を生成するための係数を返します。

例:

require "m-polynomial"
require "rational"
P = Algebra.MPolynomial(Rational)
P.set_ord :grevlex
x, y, z = P.vars("xyz")
f1 = x**2 + y**2 + z**2 -1
f2 = x**2 + z**2 - y
f3 = x - z
fs = [f1, f2, f3]
c, b = Groebner.basis_coeff(fs)
p b #=> [y^2 + y - 1, z^2 - 1/2y, x - z]
p c #=> [[1, -1, 0], [0, 1/2, -1/2x - 1/2z], [0, 0, 1]]
for i in 0..2
  p c[i].inner_product(fs) == b[i] #=> true
end

Groebner.basis?(f)

f がグレブナ基底の配列か否かを返します。

Groebner.minimal_basis?(f)

f が極小グレブナ基底の配列か否かを返します。

Groebner.reduced_basis?(f)

f が極小グレブナ基底の配列か否かを返します。

メソッド:

S_pair(other)

other との S-pair を取ります。

例:

(x**2*y + y**2 + z**2 -1).S_pair(x**2*z + z**2 - y)
  #=> y^2z + y^2 - yz^2 + z^3 - z

divmod_s(f1[, f2[, f3...]])

基底 f1, f2, f3, ... で割った商（各基底の係数の配列）と余り [[q1, q2, q3, ...], r] を返します。

一度 f1, f2, f3, ... をグレブナ基底に変換してから割り算を行うので、divmod(f1, f2, ...).last == 0 と self がイデアル (f1, f2, ...) に属することは同値です。

例:

require "m-polynomial"
require "rational"
P = Algebra.MPolynomial(Rational)
P.set_ord :grevlex
x, y, z = P.vars("xyz")
f1 = x**2 + y**2 + z**2 -1
f2 = x**2 + z**2 - y
f3 = x - z
fs = [f1, f2, f3]
f = x**3 + y**3 + z**3
c, r = f.divmod_s(*fs)
p r #=> yz + 2y - 1
p c #=> [y - 1, -y + z + 1, x^2]
p f == c.inner_product(fs) + r #=> true

div_cg(f, cg)

基底の配列 f から Groebner.basis_coeff(f) で求めた値 cg を用いてself を基底 f で割った商（各基底の係数の配列）と余り [q, r] を返します。 divmod_s(f) は div_cg(f, Groebner.basis_coeff(f)) を返しています。