[index-ja] Algebra::MatrixAlgebra / Algebra::Vector / Algebra::Covector / Algebra::SquareMatrix / Algebra::GaussianElimination

Algebra::MatrixAlgebra

(行列クラス)

行列を表現します。実際のクラスを生成するには基底環とサイズを指定して、クラスメソッド ::create あるいは関数 Algebra::MatrixAlgebra() を用います。

サブクラスとして Algebra::Vector(縦ベクトル）, Algebra::Covector(横ベクトル), Algebra::SquareMatrix(正方行列) を持ちます。

ファイル名:

matrix-algebra.rb

スーパークラス:

Object

クラスメソッド:

::create(ring, m, n)

環 ring を要素とする, (m, n) 型の行列を表現するクラスを生成します。

このメソッドの戻り値は Algebra::MatrixAlgebra クラスのサブクラスです。このサブクラスにはクラスメソッドとして ground と rsize, csize, sizes が定義され、それぞれ、基底となる環 ring、行のサイズ m、列のサイズ n、それらの配列 [m, n] を返します。

実際に行列を作るには ::new, ::matrix, ::[] を使います。

::new(array)

array を配列の配列とするとき、それを要素とする行列を返します。

例:

M = Algebra.MatrixAlgebra(Integer, 2, 3)
a = M.new([[1, 2, 3], [4, 5, 6]])
a.display
  #=> [1, 2, 3]
  #=> [4, 5, 6]

::matrix{|i, j| ... }

i と j に行と列のインデックスを与え ... を評価した値を (i, j) 成分にした行列を返します。

例:

M = Alebra.MatrixAlgebra(Integer, 2, 3)
a = M.matrix{|i, j| 10*(i + 1) + j + 1}
a.display
  #=> [11, 12, 13]
  #=> [21, 22, 23]

::[array1, array2, ..., arrayr]

配列 array1, array2, ..., arrayr をそれぞれ行とする配列を返します。

例:

M = Algebra.MatrixAlgebra(Integer, 2, 3)
a = M[[1, 2, 3], [4, 5, 6]]
a.display
  #=> [1, 2, 3]
  #=> [4, 5, 6]

::collect_ij{|i, j| ... }

::matrix によく似ていますが、返り値は Algebra::MatrixAlgebra でなく、2重配列(Array の Array)です。

::collect_row{|i| ... }

第 i 行に ... を評価して得た配列を並べた行列を返します。

例:

M = Algebra.MatrixAlgebra(Integer, 2, 3)
A = M.collect_row{|i| [i*10 + 11, i*10 + 12, i*10 + 13]}
A.display
  #=> [11, 12, 13]
  #=> [21, 22, 23]

::collect_column{|j| ... }

第 j 列に ... を評価して得た配列を並べた行列を返します。

例:

M = Algebra.MatrixAlgebra(Integer, 2, 3)
A = M.collect_column{|j| [11 + j, 21 + j]}
A.display
  #=> [11, 12, 13]
  #=> [21, 22, 23]

::*(otype)

2つの行列の型を掛けた新しいクラスを返します。

例:

M = Algebra.MatrixAlgebra(Integer, 2, 3)
N = Algebra.MatrixAlgebra(Integer, 3, 4)
L = M * N
p L.sizes #=> [3, 4]

::vector_type

rsize と同じサイズの縦ベクトル(Vector)クラスを返します。

::covector_type

csize と同じサイズの横ベクトル(CoVector)クラスを返します。

::transpose

転置を行った新しい行列クラスを返します。

::zero

零行列を返します。

メソッド:

[i, j]

(i, j) 成分を返します。

[i, j] = x

(i, j) 成分を x にします。

rsize

行サイズを返します。::rsize と同じです。

csize

列サイズを返します。::csize と同じです。

sizes

[rsize, csize] の配列を返します。 ::sizes と同じです。

rows

各行を要素とする配列を返します。

例:

M = Algebra.MatrixAlgebra(Integer, 2, 3)
a = M.new([[1, 2, 3], [4, 5, 6]])
p a.rows #=> [[1, 2, 3], [4, 5, 6]]
p a.row(1) #=> [4, 5, 6]
a.set_row(1, [40, 50, 60])
a.display #=> [1, 2, 3]
          #=> [40, 50, 60]

row(i)

i 行目を配列として返します。

set_row(i, array)

i 行目を配列 array に入れ換えます。

columns

各列を要素とする配列を返します。

例:

M = Algebra.MatrixAlgebra(Integer, 2, 3)
a = M.new([[1, 2, 3], [4, 5, 6]])
p a.columns #=> [[1, 4], [2, 5], [3, 6]]
p a.column(1) #=> [2, 5]
a.set_column(1, [20, 50])
a.display #=> [1, 20, 3]
          #=> [4, 50, 6]

column(j)

j 列目を配列として返します。

set_column(j, array)

j 列目を配列 array に入れ換えます。

each{|row| ...}

各行を配列にして row に入れるイテレータです。

each_index{|i, j| ...}

各添え字 (i, j) に関するイテレータです。

each_i{|i| ...}

各行の添え字 i に関するイテレータです。

each_j{|j| ...}

各列の添え字 j に関するイテレータです。

each_row{|r| ... }

各行を配列にして r に入れるイテレータです。 each と同じです。

each_column{|c| ... }

各列を配列にして c に入れるイテレータです。

matrix{|i, j| ... }

::matrix と同じです。

collect_ij{|i, j| ... }

::collect_ij と同じです。

collect_row{|i| ... }

::collect_row と同じです。

collect_column{|j| ... }

::collect_column と同じです。

minor(i, j)

i 行 j 列を除いた小行列を返します。

cofactor(i, j)

i 行 j 列を除いた小行列式に (-1)**(i+j) を掛けたものを返します。minor(i, j) ** (i + j) と同じです。

cofactor_matrix

余因子行列を返します。self.class.transpose.matrix{|i, j| cofactor(j, i)} と同じです。

adjoint

cofactor_matrix と同じです。

等しいとき真を返します。

和を計算します。

差を計算します。

積を計算します。

例:

M = Algebra.MatrixAlgebra(Integer, 2, 3)
N = Algebra.MatrixAlgebra(Integer, 3, 4)
L = M * N
a = M[[1, 2, 3], [4, 5, 6]]
b = N[[-3, -2, -1, 0], [1, 2, 3, 4], [5, 6, 7, 8]]
c = a * b
p c.type  #=> L
c.display #=> [14, 20, 26, 32]
          #=> [23, 38, 53, 68]

n 乗を計算します。

商を計算します。

階数を返します。

直和を返します。

例:

a = Algebra.MatrixAlgebra(Integer, 2, 3)[
      [1, 2, 3],
      [4, 5, 6]
    ]
b = Algebra.MatrixAlgebra(Integer, 3, 2)[
      [-1, -2],
      [-3, -4],
      [-5, -6]
    ]
(a.dsum b).display #=> 1,   2,   3,   0,   0
                   #=> 4,   5,   6,   0,   0
                   #=> 0,   0,   0,  -1,  -2
                   #=> 0,   0,   0,  -3,  -4
                   #=> 0,   0,   0,  -5,  -6

convert_to(ring)

self の各成分を行列環 ring にコンバートします。

Example:

require "matrix-algebra"
require "residue-class-ring"
Z3 = Algebra.ResidueClassRing(Integer, 3)
a = Algebra.MatrixAlgebra(Integer, 2, 3)[
  [1, 2, 3],
  [4, 5, 6]
]
a.convert_to(Algebra.MatrixAlgebra(Z3, 2, 3)).display
                                    #=>  1,   2,   0
                                    #=>  1,   2,   0

to_ary

to_a を返します。to_a は Enumerable で定義されています。

flatten

to_a.flatten を返します。

diag

対角成分を配列で返します。

transpose

転置行列を返します。

例:

M = Algebra.MatrixAlgebra(Integer, 2, 3)
a = M.new([[1, 2, 3], [4, 5, 6]])
Mt = M.transpose
b = a.transpose
p b.type  #=> Mt
b.display #=> [1, 4]
          #=> [2, 5]
          #=> [3, 6]

dup

複製します。

例:

M = Algebra.MatrixAlgebra(Integer, 2, 3)
a = M.new([[1, 2, 3], [4, 5, 6]])
b = a.dup
b[1, 1] = 50
a.display #=> [1, 2, 3]
          #=> [4, 5, 6]
b.display #=> [1, 2, 3]
          #=> [4, 50, 6]

display([out])

行列を out に表示します。out が省略されると $stdout に表示します。

Algebra::Vector

(縦ベクトルクラス)

ベクトルのクラスです。

スーパークラス:

Algebra::MatrixAlgebra

インクルードしているモジュール:

なし

クラスメソッド:

Algebra::Vector::create(ring, n)

環 ring を要素とする, n 次元のベクトル（縦ベクトル）表現するクラスを生成します。

このメソッドの戻り値は Algebra::Vector クラスのサブクラスです。このサブクラスにはクラスメソッドとして ground と size が定義され、それぞれ、基底となる環 ring、サイズ n を返します。

実際にベクトルを作るにはクラスメソッド new, matrix, [] を使います。

Algebra::Vector は n 行 1 列の Algebra::MatrixAlgebra と同一視されます。

Algebra::Vector::new(array)

array を配列とするとき、それを要素とする縦ベクトルを返します。

例:

V = Algebra.Vector(Integer, 3)
a = V.new([1, 2, 3])
a.display
  #=> [1]
  #=> [2]
  #=> [3]

Algebra::Vector::vector{|i| ... }

第 i 成分を ... にしたベクトルを返します。

例:

V = Algebra.Vector(Integer, 3)
a = V.vector{|j| j + 1}
a.display
  #=> [1]
  #=> [2]
  #=> [3]

Algebra::Vector::matrix{|i, j| ... }

第 i 成分を ... にしたベクトルを返します。 j には常に 0 が代入されます。

メソッド:

size: 次元を返します。
to_a: 各成分を配列にして返します。
transpose: 横ベクトル Algebra::Covector に転置します。
inner_product(other): other との内積を返します。
inner_product_complex(other): other との内積を返します。 inner_product(other.conjugate)と同じです。
norm2: ノルムを返します。 inner_product(self)と同じです。
norm2_complex: ノルムを返します。 inner_product(self.conjugate)と同じです。

Algebra::Covector

(横ベクトルクラス)

ベクトルのクラスです。

スーパークラス:

Algebra::MatrixAlgebra

インクルードしているモジュール:

なし

クラスメソッド:

Algebra::Covector::create(ring, n)

環 ring を要素とする, n 次元のベクトル（横ベクトル）表現するクラスを生成します。

このメソッドの戻り値は Algebra::Covector クラスのサブクラスです。このサブクラスにはクラスメソッドとして ground と size が定義され、それぞれ、基底となる環 ring、サイズ n を返します。

実際にベクトルを作るにはクラスメソッド new, matrix, [] を使います。

Algebra::Covector は 1 行 n 列の Algebra::MatrixAlgebra と同一視されます。

Algebra::Covector::new(array)

array を配列とするとき、それを要素とする横ベクトルを返します。

例:

V = Algebra.Covector(Integer, 3)
a = V.new([1, 2, 3])
a.display
  #=> [1, 2, 3]

Algebra::Covector::covector{|j| ... }

第 j 成分を ... にしたベクトルを返します。

例:

V = Algebra.Covector(Integer, 3)
a = V.covector{|j| j + 1}
a.display
  #=> [1, 2, 3]

Algebra::Covector::matrix{|i, j| ... }

第 j 成分を ... にしたベクトルを返します。i には常に 0 が代入されます。

メソッド:

size: 次元を返します。
to_a: 各成分を配列にして返します。
transpose: 横ベクトル Algebra::Vector に転置します。
inner_product(other): other との内積を返します。
inner_product_complex(other): other との内積を返します。 inner_product(other.conjugate)と同じです。
norm2: ノルムを返します。 inner_product(self)と同じです。
norm2_complex: ノルムを返します。 inner_product(self.conjugate)と同じです。

Algebra::SquareMatrix

(正方行列環クラス)

正方行列の作る環を表現するクラスです。

スーパークラス:

Algebra::MatrixAlgebra

インクルードしているモジュール:

なし

クラスメソッド:

Algebra::SquareMatrix::create(ring, n)

正方行列表現するクラスを生成します。

このメソッドの戻り値は Algebra::SquareMatrix クラスのサブクラスです。このサブクラスにはクラスメソッドとして ground と size が定義され、それぞれ、基底となる環 ring、サイズ n を返します。

SquareMatrix は n 行 n 列の Algebra::MatrixAlgebra と同一視されます。

実際に行列を作るにはクラスメソッド new, matrix, [] を使います。

Algebra::SquareMatrix.determinant(aa)

配列の配列 aa の行列式を返します。

Algebra::SquareMatrix.det(aa)

Algebra::SquareMatrix.determinatと同じです。

Algebra::SquareMatrix::unity

単位行列を返します。

Algebra::SquareMatrix::zero

零行列を返します。

Algebra::SquareMatrix.const(x)

成分が x のスカラー行列を返します。

メソッド

size: サイズを返します。
const(x): 成分が x のスカラー行列を返します。
determinant: 行列式を返します。
inverse: 逆行列を返します。
/(other): self * other.inverse を返します。other がスカラーなら各要素を other で割ります。
char_polynomial(ring): ring に多項式環を与えると、特性多項式を返します。
char_matrix(ring): ring に多項式環を与えると、特性行列を返します。
_char_matrix(poly_ring_matrix): poly_ring_matrix に多項式成分の行列環を与えると、特性行列を返します。

Algebra::GaussianElimination

(ガウスの消去法モジュール)

ガウスの掃き出し法を実現するモジュールです。

swap_r(i, j)

i 行と j 行を入れ換えたものを返します。

swap_c!(i, j)

i 列と j 列を入れ換えます。

swap_c(i, j)

i 列と j 列を入れ換えたものを返します。

multiply_r!(i, c)

i 行目を c 倍します。

multiply_r(i, c)

i 行目を c 倍したものを返します。

multiply_c!(j, c)

j 列目を c 倍します。

multiply_c(j, c)

j 列目を c 倍したものを返します。

divide_r!(i, c)

i 行目を c で割ります。

divide_r(i, c)

i 行目を c 割ったものを返します。

divide_c!(j, c)

j 列目を c で割ります。

divide_c(j, c)

j 列目を c 割ったものを返します。

mix_r!(i, j, c)

i 行目に j 行目の c 倍を足します。

mix_r(i, j, c)

i 行目に j 行目の c 倍を足したものを返します。

mix_c!(i, j, c)

i 列目に j 列目の c 倍を足します。

mix_c(i, j, c)

i 列目に j 列目の c 倍を足したものを返します。

left_eliminate!

左からの基本変形で階段行列に変形します。

戻り値は、変形するのに使った正方行列の積とその正方行列の行列式と階数の配列です。

例:

require "matrix-algebra"
require "mathn"
class Rational < Numeric
  def inspect; to_s; end
end
M = Algebra.MatrixAlgebra(Rational, 4, 3)
a = M.matrix{|i, j| i*10 + j}
b = a.dup
c, d, e = b.left_eliminate!
b.display #=> [1, 0, -1]
          #=> [0, 1, 2]
          #=> [0, 0, 0]
          #=> [0, 0, 0]
c.display #=> [-11/10, 1/10, 0, 0]
          #=> [1, 0, 0, 0]
          #=> [1, -2, 1, 0]
          #=> [2, -3, 0, 1]
p c*a == b#=> true
p d       #=> 1/10
p e       #=> 2

left_inverse

左からの基本変形による一般逆行列です。

left_sweep

左からの基本変形で階段行列にして返します。

step_matrix?

階段行列であるとき、軸(pivot)の配列を返します。そうでないとき、nil を返します。

kernel_basis

右から掛けて零になるベクトルの空間の基底の配列を返します。各基底は Algebra::Vector の要素です。

例:

require "matrix-algebra"
require "mathn"
M = Algebra.MatrixAlgebra(Rational, 5, 4)
a = M.matrix{|i, j| i + j}
a.display #=>
  #[0, 1, 2, 3]
  #[1, 2, 3, 4]
  #[2, 3, 4, 5]
  #[3, 4, 5, 6]
  #[4, 5, 6, 7]
a.kernel_basis.each do |v|
  puts "a * #{v} = #{a * v}"
    #=> a * [1, -2, 1, 0] = [0, 0, 0, 0, 0]
    #=> a * [2, -3, 0, 1] = [0, 0, 0, 0, 0]
end

determinant_by_elimination

体上の正方行列の行列式を掃き出し法で求めます。

Algebra::MatrixAlgebra

ファイル名:

スーパークラス:

インクルードしているモジュール:

関連する関数:

クラスメソッド:

メソッド:

Algebra::Vector

スーパークラス:

インクルードしているモジュール:

関連する関数:

クラスメソッド:

メソッド:

Algebra::Covector

スーパークラス:

インクルードしているモジュール:

関連する関数:

クラスメソッド:

メソッド:

Algebra::SquareMatrix

スーパークラス:

インクルードしているモジュール:

関連する関数:

クラスメソッド:

メソッド

Algebra::GaussianElimination

ファイル名:

インクルードしているモジュール:

クラスメソッド:

メソッド