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Algebra::Polynomial

(1変数多項式環クラス)

1変数の多項式環を表現します。実際のクラスを生成するには環を指定して、クラスメソッド ::create あるいは関数 Algebra.Polynomial() を用います。

ファイル名:

スーパークラス:

インクルードしているモジュール:

関連するメソッド:

Algebra.Polynomial(ring [, obj0 , obj1 [, ...]])
::create(ring, obj0[, obj1 [, ...]])> に同じ。

クラスメソッド:

::create(ring, obj0[, obj1[, ...]])

ring で表現されるクラスを係数環とする多項式環クラスを 生成します。

obj0, obj1, ... で指定されたオブジェクトが変数を 表現し、これが複数ならば、再帰的に多項式環上の多項 式環を生成します。

このメソッドの戻り値は Polynomial クラスのサブクラス です。このサブクラスにはクラスメソッドとして ground と var、vars が定義され、それぞれ、係数環 ring、 主変数オブジェクト（最後に指定された変数）、全ての変数オ ブジェクトを返します。

オブジェクトobj0, obj1, ...は変数の名（to_sの値） に利用されるだけです。

例: 整数を係数とする多項式環の生成

require "polynomial"
P = Algebra::Polynomial.create(Integer, "x")
x = P.var
p((x + 1)**100) #=> x^100 + 100x^99 + ... + 100x + 1
p P.ground #=> integer

例: 整数を係数とする複数変数多項式環の生成

require "polynomial"
P = Algebra::Polynomial.create(Integer, "x", "y", "z")
x, y, z = P.vars
p((-x + y + z)*(x + y - z)*(x - y + z))
#=> -z^3 + (y + x)z^2 + (y^2 - 2xy + x^2)z - y^3 + xy^2 + x^2y - x^3
p P.var #=> z

この例の P は

Algebra::Polynomial.create(
  Algebra::Polynomial.create(
    Algebra::Polynomial.create(
      Integer,
    "x"),
  "y"),
"z")

と同値で、最後の変数 z が主変数となります。

::var
多項式環の変数（主変数）を返します。
::vars
再帰的に各多項式環の変数を集めた配列を返します。
::mvar
::vars と同じです。
::to_ary

[self, *vars] を返します。

例: 多項式環と変数を同時に定義する。

P, x, y, z = Algebra::Polynomial.create(Integer, "x", "y", "z")
::variable
変数（主変数）を表現するオブジェクトを返します。
::variables
再帰的に各多項式環の変数を表現するオブジェクトを 集めた配列を返します。
::indeterminate(obj)
obj で表現される変数を再帰的に探して返します。
::monomial([n])

n 次の単項式を返します。

例:

P = Algebra::Polynomial(Integer, "x")
P.monomial(3) #=> x^3
::const(c)

値 c の定数項を返します。

例:

P = Algebra::Polynomial(Integer, "x")
P.const(3)      #=> 3
P.const(3).type #=> P
::zero
零元を返します。
::unity
単位元を返します。

メソッド:

var
::var と同じです。
variable
::variable と同じです。
each(&b)

各次の係数を昇冪順に繰り返します。

例:

P = Algebra::Polynomial(Integer, "x")
x = P.var
(x**3 + 2*x**2 + 4).each do |c|
  p c #=> 4, 0, 2, 1
end
reverse_each(&b)

各次の係数を降冪順に繰り返します。

例:

P = Algebra::Polynomial(Integer, "x")
x = P.var
(x**3 + 2*x**2 + 4).reverse_each do |c|
  p c #=> 1, 2, 0, 4
end
[n]
n 次の係数を返します。
[n] = v
n 次の係数をvに設定します。
monomial
::monomial と同じです。
monomial?
単項式であるとき真を返します。
zero?
零元であるとき真を返します。
zero
零元を返します。
unity
単位元を返します。
==(other)
等しいとき真を返します。
<=>(other)
大小関係を求めます。
+(other)
和を計算します。
-(other)
差を計算します。
*(other)
積を計算します。
**(n)
n 乗を計算します。
/(other)
商を計算します。divと同じです。
divmod(other)
other で割った商と余りの配列を返します。
div(other)
other で割った商を返します。divmod(other).first と一致します。
%(other)
other で割った余りを返します。divmod(other).last と一致します。
divide?(other)
other で割り切れるとき真を返します。 divmod(other).last == zero?と一致します。
deg

次数を返します。

例:

P = Algebra::Polynomial(Integer, "x")
x = P.var
(5*x**3 + 2*x + 1).deg #=> 3
lc

先頭係数(leading coeffcient)を返します。

例:

(5*x**3 + 2*x + 1).lc #=> 5
lm

先頭単項式(leading monomial)を返します。

例:

(5*x**3 + 2*x + 1).lm #=> x**3
lt

先頭項(leading term)を返します。lc * lmと等しい値を持ちます。

例:

(5*x**3 + 2*x + 1).lt #=> 5*x**3
rt

残余項(rest term)を返します。self - ltと等しい値を持ちます。

例:

(5*x**3 + 2*x + 1).rt #=> 2*x + 1
monic
最高次係数を1に直した式を返します。self / lc と同じ値を持 ちます。
cont
係因数(content(全ての係数の最大公約数)）を返します。
pp
原始的部分(primitive part)を返します。self / contと 同じ値を持ちます。
to_s

文字列表現を得ます。表示形式を変えるには display_type を用います。 display_type に与えられる値は :norm(デフォルト), :code です。

例:

P = Algebra::Polynomial(Integer, "x")
x = P.var
p 5*x**3 + 2*x + 1 #=>5x^3 + 2x + 1
P.display_type = :code
p 5*x**3 + 2*x + 1 #=> 5*x**3 + 2*x + 1
derivate

微分した値を返します。

例:

(5*x**3 + 2*x + 1).derivate #=> 15*x**2 + 2
sylvester_matrix(other)
other とのシルベスター行列を返します。
resultant(other)
other との集結式返します。予め
project(ring[, obj]){|c, n| ... }

各単項式について、 次数を n に、係数 c に代入し ... を評価したものを その単項式の値に置き換え、ring 上で和を取った値を 返します。obj が省略されると ring.var が用いら れます。

例:

require "polynomial"
require "rational"
P = Algebra::Polynomial(Integer, "x")
PQ = Algebra::Polynomial(Rational, "y")
x = P.var
f = 5*x**3 + 2*x + 1
p f.convert_to(PQ) #=> 5y^3 + 2y + 1
p f.project(PQ) {|c, n| Rational(c) / (n + 1)} #=> 5/4y^3 + y + 1
evaluate(obj)

主変数に obj を代入した値を返します。 project(ground, obj){|c, n| c} の値と一致します。

例:

require "polynomial"
P = Algebra::Polynomial(Integer, "x")
x = P.var
f = x**3 - 3*x**2 + 1
p f.evaluate(-1)    #=> -3 (in Integer)
p f.evaluate(x + 1) #=> x^3 - 3x - 1 (in P)
call(obj)
evaluateと同じです。
sub(var, value)

変数 var に value を代入した値を返します。

例:

require "polynomial"
P = Algebra::Polynomial(Integer, "x", "y", "z")
x, y, z = P.vars
f = (x - y)*(y - z - 1)
p f.sub(y, z+1)    #=> 0
convert_to(ring)
各項をring上で評価します。 project(ring){|c, n| c} の 値と一致します。

Algebra::PolynomialFactorization

(因数分解モジュール)

因数分解をするためのモジュールです。

ファイル名:

polynomial-factor.rb

メソッド:

sqfree
無平方化します。
sqfree?
無平方なら真を返します。
irreducible?
既約なら真を返します。
factorize

因数分解します。

因数分解可能な係数環は

です。

Algebra::SplittingField

(分解体モジュール)

多項式の最小分解体を求めるためのモジュール

ファイル名:

メソッド:

decompose([fac0])

自身の最小分解体を field、拡大に要した既約多項式 の配列を def_polys、最小分解体上で1次式の積に因数分解し たものを facts、多項式の根の配列を roots、 roots を基礎体に添加した元が前に来るように並べ替えた の配列を proots として、

[field, def_polys, facts, roots, proots]

を返します。基礎体上の因数分解 fac0 を添えると高速化に役立ちます。 （facts の要素と fact0 は Algebra::Factors オブジェクト 、field は AlgebraicExtensionField オブジェクトです。ただし、自身が一次因子に分解されるときは groud そのものを返します。

例:

require "algebra"
PQ = Polynomial(Rational, "x")
x = PQ.var
f = x**5 - x**4 + 2*x - 2
field, def_polys, facts, roots, proots = f.decompose
p def_polys #=> [a^4 + 2, b^2 + a^2]
p facts    #=> (x - 1)(x - a)(x + a)(x - b)(x + b)
p roots    #=> [1, a, -a, b, -b]
p proots   #=> [a, b, 1, -a, -b]
fp = Polynomial(field, "x")
x = fp.var
facts1 = Factors.new(facts.collect{|g, n| [g.call(x), n]})
p facts1.pi == f.convert_to(fp) #=> true
splitting_field([fac0]))

自身の最小分解体の情報を返します。返り値の各フィールドの値は以下 の通りです。poly_exps 以外は decompose の以下のものに相当します。

poly, field, roots, proots, def_polys

ただし、roots、proots の各要素は field の 要素として変換されています。

例:

require "algebra"
PQ = Polynomial(Rational, "x")
x = PQ.var
f = x**5 - x**4 + 2*x - 2
sf = f.splitting_field
p sf.roots     #=> [1, a, -a, b, -b]
p sf.proots     #=> [a, b, 1, -a, -b]
p sf.def_polys #=> [a^4 + 2, b^2 + a^2]

Algebra::Galois

(ガロア群)

多項式のガロア群を求めるためのモジュール

ファイル名:

インクルードしているモジュール:

関連するメソッド:

GaloisGroup.galois_group(poly)
galois_group と同じ

モジュールメソッド:

メソッド:

galois_group

多項式のガロア群を返します。群は各元が PermutationGroup である FiniteGroup オブジェクトとして表現されます。

例:

require "rational"
require "polynomial"

P = Algebra.Polynomial(Rational, "x")
x = P.var
p( (x**3 - 3*x + 1).galois_group.to_a )
#=>[[0, 1, 2], [1, 2, 0], [2, 0, 1]]

(x**3 - x + 1).galois_group.each do |g|
  p g
end
#=> [0, 1, 2]
#   [1, 0, 2]
#   [2, 0, 1]
#   [0, 2, 1]
#   [1, 2, 0]
#   [2, 1, 0]